Diagrama de Venn (Conjuntos): Exercícios Resolvidos

Ingrid Nunes em 08/01/2019

John Venn criou, através de análises lógicas, um método de diagramação que consiste simploriamente em uma relação entre círculos capaz de demonstrar operações entre conjuntos numéricos.

O Diagrama de Venn é um método que, através do desenho de figuras planas, os círculos, é utilizado para resolver questões de conjuntos numéricos.

Por outro lado, existe também a fórmula (A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) que nos permite realizar a união de três elementos.

Através do diagrama, as operações dos conjuntos são representadas nos círculos e suas interações. No diagrama abaixo, são representados três conjuntos.

Os espaços em azul representam as intersecções entre dois conjuntos de cada vez e o espaço central em vermelho a intersecção entre todos os três conjuntos.

Diagrama de Venn

Representação de um único conjunto

Conjunto P dos números pares menores do que 12, P = {2, 4, 6, 8, 10}

Diagrama de Venn - Representação de um único conjunto

Representação de dois conjuntos

Conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}.

Diagrama de Venn - Representação de dois conjuntos

Nesses dois conjuntos temos que A U B (união) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15} e que A ∩ B (intersecção) = {1, 3, 5, 7, 9}.

Representação de três conjuntos

Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12} e C = {4, 8, 12, 16}.

Diagrama de Venn - Representação de três conjuntos

Nesses conjuntos temos que A ∩ B = {6}, A ∩ C = {4, 8}, B ∩ C = {Ø} e A ∩ B ∩ C = {12}.

Exercícios resolvidos utilizando o diagrama de Venn

Veja os exemplos abaixo:

1) Em uma sala de aula, a professora de Matemática decidiu fazer um levantamento dos lanches comprados pelos alunos. A professora verificou que, de um total de 35 alunos, dezesseis compraram salgado; destes, quatro compraram pizza e salgado, e sete alunos não compraram lanche nesse dia. Quantos alunos compraram apenas pizza?

Resolução:

Em um primeiro momento, precisamos identificar que na questão existem dois conjuntos: o conjunto dos alunos que compraram salgado e o conjunto dos alunos que compraram pizza.

Em segundo lugar, precisamos considerar que no universo dos 35 alunos existem 7 que não compraram lanche e, sendo assim, não estarão inclusos nos círculos dos conjuntos.

Diagrama de Venn - Exercício resolvido 1

Agora devemos incluir os números cedidos aos seus lugares correspondentes no nos círculos. Porém, devemos sempre começar pela intersecção entre todos os conjuntos sendo ela o valor correspondente aos alunos que compraram tanto a pizza quanto o salgado. Veja:

Diagrama de Venn - Exercício resolvido 1.1

Após isso, utilizaremos a informação dos dezesseis alunos que compraram salgado. Se inserirmos o valor cedido no espaço correspondente aos salgados, teremos um diagrama errado. Veja o porquê:

Se 16 alunos compraram salgado, estamos considerando também os 4 alunos que além do salgado compraram também a pizza.

Diagrama de Venn - Exercício resolvido 1.3

O espaço em laranja corresponde aos alunos que compraram apenas os alunos que compraram o salgado, sem incluir aqueles que também compraram pizza. Justamente por isso não podemos incluir o número 16 diretamente no espaço em laranja, mas sim subtrair 16 do número de alunos que compraram os dois lanches para encontrar aqueles que compraram apenas o salgado.

n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)

16 – 4 = 12

Diagrama de Venn - Exercício resolvido 1.4

Agora, a incógnita X representa a informação pedida pela questão, ou seja, os alunos que só compraram pizza.

Se ao total temos 35 alunos, 7 nada compraram, 12 compraram apenas salgado e 4 pizza e salgado, se relacionarmos esses elementos ao X em uma igualdade poderemos encontrar o valor da incógnita.

35 = 12 + 4 + 7 + X
35 = 23 + X
X = 12

Ou seja, 12 alunos compraram apenas pizza.

2) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de?

Resolução:

Sabemos que o conjunto A possui 100 pessoas o B possui 150 e a intersecção entre A e B equivale a 20 pessoas. Podemos retirar do enunciado, também, que 110 pessoas fazem parte da pesquisa, mas não fazem parte do conjunto A ou B, mas mesmo assim pertencem ao conjunto universo.

Como ensinado anteriormente, sempre começamos pela intersecção entre todos os conjuntos, veja abaixo:

Diagrama de Venn - Exercício com Gabarito 2

Se 100 pessoas fazem parte do conjunto A e já temos 20 pessoas dentro do círculo correspondente a A, nos restam 80 pessoas para completar o total. Agora, o conjunto B possui 150 pessoas no total, entretanto devemos contabilizar as 20 pessoas que pertence à intersecção entre A e B, ou seja, as que informaram A e B. Sendo assim, 150 – 20 = 130. Desse modo obtemos o número de pessoas que informaram apenas o site B.

Diagrama de Venn - Exercício com Gabarito 2.1

Se a questão pede o total de pessoas consultadas, precisamos apenas somar todos os elementos presentes no diagrama.

80 + 20 + 130 + 110 = 340

Ou seja, foram entrevistadas 340 pessoas.

3) Uma sorveteria, com o intuito de otimizar suas vendas, fez uma pesquisa para saber qual era o sorvete que seus clientes mais consomem. Entre os entrevistados, 130 consomem o sorvete de morango; 165 consomem o sorvete de chocolate e 175 consomem o sorvete de flocos. Dentro desse grupo, 120 consomem apenas sorvete de flocos; 25 consomem sorvete de morango e chocolate; 15 consomem o sorvete de morango e flocos; 10 consomem sorvete de morango, flocos e de chocolate. Quantos clientes consomem os sorvetes de chocolate e flocos?

Resolução:

Começaremos pelos clientes que consomem os 3 sabores de sorvete, ou seja, a intersecção entre os três conjuntos.

Diagrama de Venn - Exercício com Gabarito 3

Sabemos que a questão pede o valor da intersecção entre os sorvetes de chocolate e flocos, é preciso colocar uma incógnita no espaço correspondente no diagrama de Venn. Além disso, podemos preencher os espaços cujos valores foram informados no enunciado.

Diagrama de Venn - Exercício com Gabarito 3.1

Se o total de consumidores do sorvete de flocos é 175, podemos relacionar todos os elementos do conjunto F com a incógnita através de uma igualdade resultará na resposta pedida pela questão.

175 = 15 + 10 + 120 + X
175 = 145 + X
X = 30

Ou seja, 30 clientes consomem o sorvete de chocolate e de flocos.

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